Valor Absoluto, Representación y Orden en Números Enteros

El conjunto de los números enteros está formado por:
 = {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}
Es decir, los naturales, sus opuestos (negativos) y el cero. Se dividen en tres partes: enteros positivos o números naturales, enteros negativos y cero.
Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera a los números naturales son un subconjunto de los enteros.

Valor absoluto de un número entero

El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo.

El valor absoluto lo escribiremos entre barras verticales.

|−5| = 5

|5| = 5

Representación de los números enteros

1. En una recta horizontal, se toma un punto cualquiera que se señala como cero.

2. A su derecha y a distancias iguales se van señalando los números positivos: 1, 2, 3,...

3. A la izquierda del cero y a distancias iguales que las anteriores, se van señalando los números negativos: − 1, −2, −3,...

Orden en los Números Enteros
Los números enteros están ordenados. De dos números representados gráficamente, es menor el situado más a la izquierda.

Criterios para ordenar los Números Enteros 
1. Todo número negativo es menor que cero.
2. Todo número positivo es mayor que cero.
3. De dos enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto.
4. De los enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto.
−7 < 07 > 0
−7 > −10             
|−7| < |−10|
10 > 7             |10| > |7|


A Practicar: 
1Ordenar, en sentido creciente, representar gráficamente, y calcular los opuestos y valores absolutos de los siguientes números enteros:
8, −6, −5, 3, −2, 4, −4, 0, 7
2Representar gráficamente, y calcular los opuestos y valores absolutos de los siguientes números enteros:
−4, 6, −2, 1, −5, 0, 9

Suma y Resta de Números Enteros

 1)   Cuando los números enteros tienen el  MISMO  signo   SE  SUMAN  y el resultado queda con el  MISMO SIGNO que tienen  los números que sumé.

EJEMPLO:                           1  +   3   +   5   +   8   =     17                                         
                                                  POSITIVOS                 POSITIVO
                                                   
                                              -1  -   3   -   5   -   8    =    -  17
                                                     NEGATIVOS                 NEGATIVO


2)   Cuando los números tienen  DISTINTO  SIGNO  resto al mayor   (en valor absoluto)  el menor ( en valor absoluto)  y  el resultado me da con el signo del mayor (en valor absoluto).


EJEMPLO:                             - 5   +   3   =    -2    ME  DA NEGATIVO PORQUE EL MAYOR TIENE ESE SIGNO.

                                                     5   -   3   =   2       ME DA POSITIVO PORQUE EL MAYOR TIENE ESE SIGNO.

3)   Si delante de un paréntesis , corchete o llave no hay nada  entonces hay un signo positivo que no se escribe. 

4)   Cuando delante de un paréntesis, corchete o llave hay :

      a)  un SIGNO NEGATIVO,  se saca el paréntesis, corchete o llave  y  se  CAMBIAN  todos los signos de los números que están adentro.

EJEMPLO:             -  (  4  -  3  )   =  -  4  +   3         SE CAMBIAN LOS SIGNOS

      b)  un  SIGNO POSITIVO,   se saca el paréntesis, corchete o llave  y  se  NO  SE   CAMBIAN  los signos de los números que están adentro.

EJEMPLO:                  (  4  -  3  )   =     4  -   3         NO  SE CAMBIAN LOS SIGNOS

  RESUMIENDO:

1)  Si tengo varios números a sumar algunos positivos, otros negativos:

                   -7 + 4 - 2 + 8 - 3 - 5 + 1

     1^er  PASO:  Sumo los positivos

                              

                           ( 4 + 8 + 1 ) = 13

     2 ^do PASO:  Sumo los negativos anteponiendo el signo menos al paréntesis

                          - ( 7 + 2 + 3 + 5 ) = - 17

    3 ^er  PASO:  Me queda

                            ( 4 + 8 + 1 ) - ( 7 + 2 + 3 + 5 )

                                     13       -         17      

                                  

   Busco la diferencia entre los dos y pongo el signo del mayor

                                     13  -  17  =  -  4

   La diferencia entre 17 y 13 es de 4 y como el mayor, que es el 17, tiene signo negativo, el resultado me da negativo.    

A Practicar : 

1) - 3 + 5 - 68 + 8 - 12 + 4 - 9 =
2) - 5 + 15 - 63 + 5 - 36 + 1 - 7 =
3) - 6 + 5 - 66 + 87 - 12 + 3 =
4) - 7 + 43 + 5 - 61 + 8 - 12 + 10 =
5) - 16 + 87 - 12 + 44 - 1 =
6) - 33 + 53 - 6 + 88 - 12 + 5 - 2 =
7) - 43 +1 5 - 6 + 85 - 12 +2 4 =
8) - 63 + 51 - 6 + 98 - 12  - 9 =
9) - 83 + 53 - 6 + 80 - 12 + 4  = 
10) -93 + 25 - 6 + 82 - 12 + 4 -1 9 =

Multiplicación y división de Enteros

1)  Si multiplico o divido números enteros tengo que atenerme a la siguiente regla de signos:

     a)      +  .   +   =   +                    EJEMPLO:      8   .   2    =    16

              +  :   +   =   +                                              8   :   2    =    4

    b)       -   .    -  =   +                    EJEMPLO:     - 8   .  (- 2)    =    16

              -   :   -    =   +                                             - 8   :  (- 2)    =    4

    c)      +  .   -     =   -                     EJEMPLO:      8   .  (- 2)    =   - 16

             +  :   -     =   -                                               8   :  (- 2)    =   - 4

    d)      -   .   +     =   -                     EJEMPLO:     - 8   .   2    =   - 16

             -   :   +     =   -                                               - 8   :   2     =   - 4

  

  

2)  Si detrás de un número hay un número negativo entre paréntesis, quiere decir que entre los dos hay un signo de multiplicación que puede no escribirse.

 
 3)  Cuando dos paréntesis, corchetes o llaves están juntos uno cerrado y el otro abierto y no hay ningún signo entre ellos , hay

     un signo de multiplicación que puede no escribirse.  

4)  Cuando hay un número al lado de un paréntesis, corchete entre el cual no hay ningún signo , entonces hay un signo de multiplicación que puede no escribirse.  

 A Practicar :

1 3 · 2 + 3 · (−5) =

2(−2) · 12 + (−2) · (−6) =
38 · 5 + 8 = 8 · (5 + 1) =
4(−3) · (−2) + (−3) · (−5) =
5 ( - 25 ) : ( - 5 ) =
6 ( - 64 ) : 4 =
7 ( - 100 ) : ( - 25 ) = 
8 1200 : ( - 2 ) = 

Potenciación de Números Enteros

Cuando un número (base) está elevado a otro número (exponente) significa que hay que multiplicar la base tantas veces como indique el exponente.

1)  Propiedad de potencias de igual base:

a)  Cuando se MULTIPLICAN potencias de igual base se SUMAN los exponentes.

b)  Cuando se DIVIDEN potencias de igual base se RESTAN los exponentes.

2)  Si una potencia está elevada a otro número , se MULTIPLICAN los exponentes.
    

3)  Las potencias con exponente par dan siempre como resultado números positivos

 
4)  Las potencias con exponente impar tienen como resultado un número cuyo signo es igual al de la base.

5)
a)  La potencia es DISTRIBUTIVA con respecto a la MULTIPLICACION y a la DIVISION.  
b)  La potencia NO ES DISTRIBUTIVA con respecto a la SUMA y a la RESTA.

_{A Practicar :}

1 (−2)² · (−2)³ · (−2)⁴ =
2 (−8) · (−2)² · (−2)⁰ (−2) =
3 (−2)⁻² · (−2)³ · (−2)⁴ =
4 2⁻² · 2⁻³ · 2⁴ =
5 2² : 2³ =
6 2⁻² : 2³ =
7 2² : 2⁻³ =
8 2⁻² : 2⁻³ =
9 [(−2)^{− 2}] ³ · (−2)³ · (−2)⁴ =
10 [(−2)⁶ : (−2)³ ]³ · (−2) · (−2)⁻⁴ =

Radicación de Números Enteros

 Para sacar la raíz de un cierto número (radicando), buscamos el número que elevado al índice  me de por resultado el radicando.

PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN:

1)
    a) Es DISTRIBUTIVA con respecto a la MULTIPLICACIÓN y a la DIVISIÓN.
    b)  NO ES DISTRIBUTIVA con respecto a la SUMA y a la RESTA.
           
 2)

   a) Si el índice es PAR entonces el radicado TIENE  que ser POSITIVO  y la raíz tiene dos resultados, uno positivo y otro negativo, para este nivel usamos el resultado positivo.                 
   b) Si el índice es IMPAR entonces la raíz va a tener el mismo signo que el radicando.
       
   3)  Si tengo una raíz de raíz se multiplican los índices.
     
    
A Practicar :

=

Ejercicios Combinados con Números Enteros

Para resolver Ejercicios Combinados debemos hacer lo siguiente :


SEPARACIÓN DE TÉRMINOS:

Para resolver ejercicios combinados con suma o resta y multiplicación o división, debo primero separar en términos.

Los signos que separan términos son los de suma o resta y se resuelve primero lo que está en cada término.

_{A Practicar :}

Realizar las siguientes operaciones con números enteros
1 (3 − 8) + [5 − (−2)] =
2 5 − [6 − 2 − (1 − 8) − 3 + 6] + 5 =
3 9 : [6 : (− 2)] =
4 [(−2)⁵ − (−3)³]² =
5 (5 + 3 · 2 : 6 − 4 ) · (4 : 2 − 3 + 6) : (7 − 8 : 2 − 2)² =
6 [(17 − 15)³ + (7 − 12)²] : [(6 − 7) · (12 − 23)] =

Los Números Racionales - Fracciones

Observa con atención el siguiente video :

Una fracción es la expresión de una cantidad dividida entre otra.

Diversas fracciones pueden tener el mismo valor (llamadas fracciones equivalentes), y el conjunto de todas las fracciones equivalentes se denomina número racional.

Representación de las fracciones

Las fracciones se pueden representar de diversas formas, así, la fracción "tres cuartos" puede escribirse de cualquiera de estas formas:

• 
• 3 ÷ 4
• 3 : 4
• 3 / 4
• ³/₄ (¾)

En este ejemplo, el número 3 se llama numerador y el 4 denominador. Las fracciones son números racionales, lo que significa que el numerador y el denominador son números enteros. Su valor, en forma decimal es 0,75, el mismo resultado que se obtiene al dividir 3 entre 4.
En el caso de una representación gráfica, se puede trazar un círculo dividido en cuatro partes iguales, de las que se retiraría una de las cuatro partes: las tres partes sobrantes representan la fracción ¾.

Clasificación de fracciones

Existen diversas formas para clasificar las fracciones,entre ellas están las siguientes:
    
     Según la relación entre el numerador y el denominador:

• Fracción propia: fracción que tiene su denominador mayor que su numerador: ⅓, ⅜, ¾…
• Fracción impropia: fracción en donde el numerador es mayor que el denominador: ¹³/₆, ¹⁸/₈, ⁵/₂

      Según la relación entre los denominadores:

• Fracción homogénea: fracciones que tienen el mismo denominador: ¼ y ¾
• Fracción heterogénea: fracciones que tienen diferentes denominadores: ¼ y ⅔

      Según la relación entre el numerador y el denominador:

• Fracción reducible: fracción en la que el numerador y el denominador no son primos entre sí y puede ser simplificada: ⁶/₁₂
• Fracción irreducible: fracción en la que el numerador y el denominador son primos entre sí, y, por tanto, no puede ser simplificada: ½
•  Fracción equivalente: la que tiene el mismo valor que otra dada: 1/2 = 2/4 = 4/8 = 50/100.

Amplificación y Simplificación de fracciones

La amplificación de una fracción consiste en multiplicar el numerador y el denominador por un mismo número entero. De la misma manera, la simplificación de una fracción consiste en dividir el numerador y denominador entre un mismo número entero, que generalmente será uno de sus factores comunes. En ambos casos, se obtiene una fracción equivalente.
Ejemplos:

(En esta amplificación de la fracción ⅔, se multiplica numerador y denominador por 4)

(Aquí se simplifica 10/25 a ⅖ dividiendo numerador y denominador entre 5)


Ahora a Practicar:
Simplifica las fracciones

1: 12/22

2: 2/8

3: 2/6

4: 12/15

5: 12/24

6: 22/24

7: 4/22

8: 3/15

9: 2/22

10: 6/21

11: 8/22

12: 20/22

Amplifica cada una de las Fracciones del punto anterior por 2, 3 y 5.

Suma y resta de fracciones

Para sumar o restar fracciones, hay dos casos:

Si Tienen el mismo denominador
Entonces se suman o se restan los numeradores y se deja el denominador común.

• Ejemplo 1:

Es posible que el resultado se pueda simplificar.

• Ejemplo 2:

Si Tienen distinto denominador

Basta con tomar el Mínimo común múltiplo de los denominadores:

• Fórmula para la suma:

      Ejemplo 1:

 

• Fórmula para la resta:

       Ejemplo 2:

A Practicar:   Suma:   1: 1/10 + 6/7

2: 1/5 + 1/2

3: 2/7 + 1/9

4: 1/2 + 2/5

5: 5/9 + 1/3

6: 1/2 + 4/9

7: 3/10 + 1/2

8: 3/8 + 1/2

9: 1/4 + 1/5

10: 1/4 + 1/8

11: 1/3 + 4/7

12: 3/5 + 1/4

13: 1/4 + 4/9

14: 1/2 + 3/8

15: 3/7 + 1/2

Ahora más Difíciles : 

1: 36/13 + 20/3

2: 4/1 + 21/11

3: 9/7 + 25/2

4: 14/15 + 19/5

5: 15/1 + 32/11

6: 19/1 + 5/4

7: 11/1 + 35/4

8: 38/7 + 5/2

9: 9/5 + 6/7

10: 5/4 + 9/2

11: 19/2 + 19/8

12: 4/3 + 7/1

13: 35/9 + 36/5

14: 29/11 + 22/9

15: 13/2 + 18/7

Resta :

1: 2/3 - 1/2

2: 4/5 - 3/8

3: 6/7 - 1/10

4: 5/8 - 1/2

5: 1/2 - 1/5

6: 2/7 - 1/9

7: 5/6 - 1/2

8: 1/2 - 1/2

9: 1/2 - 2/5

10: 5/9 - 1/3

11: 1/2 - 4/9

12: 4/7 - 1/2

13: 1/2 - 3/10

14: 1/2 - 3/8

15: 2/3 - 1/3

Ahora más Difíciles.

1: 20/3 - 36/13

2: 4/1 - 21/11

3: 25/2 - 9/7

4: 19/5 - 14/15

5: 15/1 - 32/11

6: 19/1 - 5/4

7: 11/1 - 35/4

8: 38/7 - 5/2

9: 9/5 - 6/7

10: 9/2 - 5/4

11: 19/2 - 19/8

12: 10/1 - 1/1

13: 7/1 - 4/3

14: 36/5 - 35/9

15: 29/11 - 22/9